Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，都以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿，邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)，運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，將△APQ沿翻折，若點(diǎn)恰好落在拋物線上點(diǎn)處，求出點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3） 存在滿足條件的點(diǎn) ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 或 或 或 ．

【解析】

（1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)中，求得b、c，進(jìn)而即可求得解析式；

（2）根據(jù)題意，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)Q作于F，先證明四邊形是菱形，再結(jié)合三角形相似以及設(shè)進(jìn)行求解即可得解；

（3）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ，借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設(shè)邊長(zhǎng)為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo)．

（1）將，代入，求得，

∴；

（2）如圖，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)Q作于

∵，，

∴

∴四邊形為菱形

∵

∴

∴

∴，

∴

∵

∴

∵D在二次函數(shù)上

∴

∴，或（舍去）

∴；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或或

如上圖，過(guò)點(diǎn)Q作于D，此時(shí)

∵，，，

∴，，

∴，

∵

∴

∴

∴，；

①如下圖，作AQ的垂直平分線，交AQ于E

此時(shí)，即為等腰三角形

設(shè)，則，

∴在中，，解得

∴

∴；

②如下圖，以Q為圓心，AQ長(zhǎng)半徑畫圓，交x軸于E

此時(shí)

∵

∴

∴

∴；

③當(dāng)時(shí)

1）當(dāng)E在A點(diǎn)左邊時(shí)

∵

∴

2）當(dāng)E在A點(diǎn)右邊時(shí)

∵

∴；

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或或．