Question

設(shè)p為素?cái)?shù)，k是正整數(shù)．求證：方程x²+px+kp-1=0至少有一個(gè)整數(shù)根的充分必要條件是k=1．

Answer 1

解：充分性，若k=1，則方程有兩個(gè)整數(shù)根，x₁=1，x₂=p-1；
必要性，設(shè)方程x²+px+kp-1=0有整數(shù)解x₁和另一根x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系得：
x₁+x₂=-p，x₁x₂=kp-1．①
由①知x₂也是整數(shù)根，假設(shè)k＞1，
（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=（k-1）p，②
因?yàn)閜為素?cái)?shù)，k-1＞0，由②得：p/x₁+1，或p/x₂+1，
不妨設(shè)p/x₁+1，則有
其中m為正整數(shù)，且m整除k-1
由上式相加得：x₁+x₂+2=±（mp+）．
由①得：-p+2=±（mp+）③
若③中右邊取正號(hào)，則有
（m+1）p+=2，
顯然，此式左邊大于2，矛盾，若③中右邊取負(fù)號(hào)，則有
（m-1）p+2+=0
此式左邊大于0，矛盾．
因此，k=1．
分析：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，得出p與方程根的關(guān)系，利用整除性得出方程x²+px+kp-1=0至少有一個(gè)整數(shù)根的充分必要條件是k=1．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和素?cái)?shù)以及方程整數(shù)根的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．