Question

8．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosA=$\frac{5}{6}$，D為AB上一點(diǎn)，且AD：BD=1：2，若BC=3$\sqrt{11}$，求CD的長．

Answer 1

分析 過D作DE⊥AC于E，則DE∥BC．先在Rt△ABC中，由cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{6}$，可設(shè)AC=5k，則AB=6k，利用勾股定理得出AB²-AC²=BC²，求出k=±3（負(fù)值舍去），那么AC=15，AB=18．再由DE∥BC，得出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，求出DE=$\frac{1}{3}$BC=$\sqrt{11}$，AE=$\frac{1}{3}$AC=5，CE=AC-AE=10，然后利用勾股定理得出CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{111}$．

解答 解：過D作DE⊥AC于E，則DE∥BC．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
∴設(shè)AC=5k，則AB=6k，
∵AB²-AC²=BC²，
∴36k²-25k²=99，
∴k=±3（負(fù)值舍去），
∴AC=15，AB=18．
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$BC=$\sqrt{11}$，AE=$\frac{1}{3}$AC=5，
∴CE=AC-AE=10，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{111}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，平行線分線段成比例定理，勾股定理，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線，構(gòu)造CD為直角三角形的斜邊是解題的關(guān)鍵．