Question

【題目】如圖，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，AD與△ABC的外接圓交于點D，AC，BD相交于點P，連接CD.

求證：AB∶BD＝BP∶PC.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：根據(jù)同弧上的圓周角相等可知∠ DAC＝∠ DBC，從而可得△ ABP∽ △ DCP，

再由角平分線與圓內接四邊形的性質，易得∠ DCB＝∠ DBC，從而得到DB=DC，

那么由相似三角形對應邊成比例可得AB∶DC＝PB∶PC，經(jīng)過等量替換，即可得到

AB∶BD＝PB∶PC.

試題解析：∵AD是∠ EAC的平分線，∴∠ EAD＝∠ DAC.∵∠ EAD是圓內接四邊形ABCD的外角，∴ ∠ EAD＝∠ DCB.又∵∠ DAC＝∠ DBC，∴∠ DCB＝∠ DBC，∴ DB＝DC.在

△ ABP和△ DCP中，∵∠ BAP＝∠ CDP，∠ APB＝∠ DPC，∴ △ ABP ∽ △ DCP，

∴ AB∶DC＝PB∶PC. 又∵ BD＝DC，∴ AB∶BD＝PB∶PC.