Question

在正方形ABCD中，點E是AD上一動點，MN⊥AB分別交AB，CD于M，N，連接BE交MN于點O，過O作OP⊥BE分別交AB，CD于P，Q。
探究：（1）如圖①，當點E在邊AD上時，請你動手測量三條線段AE，MP，NQ的長度，猜測AE與MP+NQ之間的數(shù)量關系，并證明你所猜測的結論；
探究：（2）如圖②，若點E在DA的延長線上時，AE，MP，NQ之間的數(shù)量關系又是怎樣請直接寫出結論；
再探究：（3）如圖③，連接并延長BN交AD的延長線DG于H，若點E分別在線段DH和射線HG上時，請在圖③中完成符合題意的圖形，并判斷AE，MP，NQ之間的數(shù)量關系又分別怎樣？請直接寫出結論。

Answer 1

解：（1）如圖①結論：AE=MP+NQ， 證明：過Q作QQ'⊥AB于Q'，則∠MQ′Q=90°， ∵MN⊥AB， ∴∠AMN=90°， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠BAD=∠ADC=90°， ∴四邊形AMND為矩形， ∴MN=AD=AB， ∴∠Q′MN=∠QNM=90°， ∴四邊形MNQQ′為矩形， ∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M， 在△BAE和△QQ′P中， ∵PQ⊥BE， ∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°， ∵∠ABE+∠Q′PQ=90°， ∴∠Q′QP=∠ABE， ∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB， ∴△BAE≌△QQ′P， ∴Q′P=AE， ∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ， ∴AE=MP+NQ； （2）如圖②，若點E在DA的延長線上時，結論AE=QN-MP。 （3）如圖，若點E1在線段DH上時，結論：AE1=MP1+NQ1， 若點E2在射線HG上時，結論：AE2=MP2-NQ2。