Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AD邊上一點（點E與A、D不重合）．BE的垂直平分線交AB于M，交DC于N．
（1）設(shè)AE=x，試把AM用含x的代數(shù)式表示出來；
（2）設(shè)AE=x，四邊形ADNM的面積為S．寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)線段的垂直平分線推出BM=ME，根據(jù)勾股定理求出即可．
（2）連接ME，NE，NB，設(shè)AM=a，DN=b，NC=6-b，根據(jù)勾股定理得到AM²+AE²=ME²，DN²+DE²=NE²=BN²=BC²+CN²，代入求出即可．
解答：解：（1）連接ME．
∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，
∴BM=ME=6-AM，
在△AME中，∠A=90°，
由勾股定理得：AM²+AE²=ME²，
AM²+x²=（6-AM）²，
AM=3-x．

（2）連接ME，NE，NB，設(shè)AM=a，DN=b，NC=6-b，
因MN垂直平分BE，
則ME=MB=6-a，NE=NB，
所以由勾股定理得
AM²+AE²=ME²，DN²+DE²=NE²=BN²=BC²+CN²
即a²+x²=（6-a）²，b²+（4-x）²=4²+（6-b）²，
解得a=3-x²，b=x²+x+3，
所以四邊形ADNM的面積為S=×（a+b）×4=2x+12，
即S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為S=2x+12（0＜x＜2），
答：S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是S=2x+12．
點評：本題主要考查對線段的垂直平分線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識點的理解和掌握，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．