Question

將直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在正方形ABCD的內(nèi)部，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使其兩條直角邊分別與正方形的邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖所示．
（1）當(dāng)三角板轉(zhuǎn)到OE⊥BC，OF⊥CD，且OE=OF的位置時(shí)，試確定點(diǎn)O的位置；
（2）當(dāng)三角板轉(zhuǎn)到僅滿足OE=OF的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）點(diǎn)O在∠BCD的平分線上，理由為：
∵OE⊥BC，OF⊥CD，且OE=OF，
∴點(diǎn)O在∠BCD的平分線上；

（2）點(diǎn)O在∠BCD的平分線上，理由為：
過(guò)O作OM⊥BC，ON⊥CD，
∴∠OME=∠ONF=90°，
∵∠OMC=∠BCD=∠ONC=90°，
∴四邊形OMCN為矩形，
∴∠MON=90°，
∴∠NOF+∠FOM=90°，
∵∠FOM+∠EOM=90°，
∴∠NOF=∠FOM，
在△OEM和△OFN中，
，
∴△OEM≌△OFN（AAS），
∴OM=ON，
則點(diǎn)O在∠BCD的平分線上．
分析：（1）點(diǎn)O在∠BCD的平分線上，理由為：利用角平分線逆定理即可得證．
（2）點(diǎn)O在∠BCD的平分線上，理由為：過(guò)O作OM垂直于BC，ON垂直于CD，可得出四邊形OMCN為矩形，得到OM與ON垂直，由OE與OF垂直，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，OE=OF，利用AAS得出三角形OEM與三角形OFN全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到OM=ON，利用角平分線逆定理即可得到O在∠BCD的平分線上．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線逆定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．