Question

（2013•黃岡）某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場(chǎng)上受到普遍歡迎，每年可在國(guó)內(nèi)、國(guó)外市場(chǎng)上全部售完．該公司的年產(chǎn)量為6千件，若在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y₁（元）與國(guó)內(nèi)銷售量x（千件）的關(guān)系為：
y₁=

15x+90(0＜x≤2) -5x+130(2＜x＜6)

若在國(guó)外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y₂（元）與國(guó)外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系為
y2=

100(0＜t≤2) -5t+110(2≤t＜6)

（1）用x的代數(shù)式表示t為：t=

6-x

；當(dāng)0＜x≤4時(shí)，y₂與x的函數(shù)關(guān)系為：y₂=

5x+80

；當(dāng)

4

＜x＜

6

時(shí)，y₂=100；
（2）求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤(rùn)w（千元）與國(guó)內(nèi)銷售數(shù)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（3）該公司每年國(guó)內(nèi)、國(guó)外的銷售量各為多少時(shí)，可使公司每年的總利潤(rùn)最大？最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）由該公司的年產(chǎn)量為6千件，每年可在國(guó)內(nèi)、國(guó)外市場(chǎng)上全部售完，可得國(guó)內(nèi)銷售量+國(guó)外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6-x；
根據(jù)平均每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y₂（元）與國(guó)外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系y2=

100(0＜t≤2) -5t+110(2≤t＜6)

及t=6-x即可求出y₂與x的函數(shù)關(guān)系：當(dāng)0＜x≤4時(shí)，y₂=5x+80；當(dāng)4≤x＜6時(shí)，y₂=100；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)=國(guó)內(nèi)銷售的利潤(rùn)+國(guó)外銷售的利潤(rùn)，結(jié)合函數(shù)解析式，分三種情況討論：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；
（3）先利用配方法將各解析式寫(xiě)成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出三種情況下的最大值，再比較即可．

解答：解：（1）由題意，得x+t=6，
∴t=6-x；
∵y2=

100(0＜t≤2) -5t+110(2≤t＜6)

，
∴當(dāng)0＜x≤4時(shí)，2≤6-x＜6，即2≤t＜6，
此時(shí)y₂與x的函數(shù)關(guān)系為：y₂=-5（6-x）+110=5x+80；
當(dāng)4≤x＜6時(shí)，0＜6-x≤2，即0＜t≤2，
此時(shí)y₂=100．
故答案為：6-x；5x+80；4，6；

（2）分三種情況：
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，w=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10x²+40x+480；
②當(dāng)2＜x≤4時(shí)，w=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10x²+80x+480；
③當(dāng)4＜x＜6時(shí)，w=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x²+30x+600；
綜上可知，w=

10x2+40x+480(0＜x≤2) -10x2+80x+480(2＜x≤4) -5x2+30x+600(4＜x＜6)

；

（3）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，w=10x²+40x+480=10（x+2）²+440，此時(shí)x=2時(shí)，w_最大=600；
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，w=-10x²+80x+480=-10（x-4）²+640，此時(shí)x=4時(shí)，w_最大=640；
當(dāng)4＜x＜6時(shí)，w=-5x²+30x+600=-5（x-3）²+645，4＜x＜6時(shí)，w＜640；
∴x=4時(shí)，w_最大=640．
故該公司每年國(guó)內(nèi)、國(guó)外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤(rùn)最大，最大值為64萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，有一定難度．涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)等知識(shí)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．