Question

如圖：△ABC為等邊三角形，點D為△ABC內(nèi)一點，且∠ADB=120°，把△ADB沿BD翻折，點A落在點E處，連接CE．
（1）求證：BD+CE=AD；
（2）連接CD，若AD=8，CD=7，求CE的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）在AD上截取AF=BD，連接CF，可以求得△ABD≌△ACF，從而得出CF=DE，CF∥DE，得出四邊形DECF是平行四邊形，最后得出BD+CE=AD；
（2）延長BD使BG=AD，過A點作AH⊥BD與H，通過△ABG≌△CAD求得AG=CD，然后解直角三角形即可求得．

解答：（1）證明：在AD上截取AF=BD，連接CF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠ADB=120°，
∴∠1+∠3=60°，
∴∠2=∠3，
在△ABD與△ACF中

AB=AC ∠2=∠3 AF=BD

∴△ABD≌△ACF（SAS）
∴CF=AD，∠ADB=∠CFA=120°，
∵∠ADB=∠EDB=120°，AD=ED，
∴∠ADE=120°，CF=ED，
∴∠ADE=∠CFA=120°，
∴FC∥DE，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴FD=CE，
∴BD+CE=AD；

（2）解：延長BD使BG=AD，過A點作AH⊥BD于H，
∵∠ADB=120°，∠BAC=60°
∴∠ABD+∠BAD=60°，∠DAC+∠BAD=60°，
∴∠ABG=∠CAD，
在△ABG與△CAD中

AB=AC ∠ABG=∠CAD BG=AD

∴△ABG≌△CAD（SAS），
∴AG=CD=7，
∵∠ADB=120°，
∴∠ADH=60°，
在Rt△ADH中，AH=sin60°•AD=

3

2

×8=4

3

，DH=

1

2

•AD=4，
在Rt△AGH中，GH=

AG2-AH2

=

72-(4 3 )2

=1，
∴DG=DH-GH=4-1=3，
由（1）可知BD+CE=AD，
∴CE=DG=3．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、平行四邊形的判定及其性質(zhì)．