Question

如圖：△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，點P由點C出發(fā)以每秒2cm的速度沿線段CA向點A運動（不運動到A點），⊙O的圓心在BP上，且⊙O分別與AB、AC相切，當點P運動2秒鐘時，⊙O的半徑是________．

Answer 1

分析：先過O作OD⊥AC于D，再過O作OE⊥AB于E，并設OD=x，DP=y，由于OD⊥AC，利用勾股定理易求OP=，同理BC==6，BP=，進而易求OB，BE，在Rt△BOE中，利用勾股定理可得x²+（6-y）²=（-）²，化簡得16-4•+12y=0①，又知OD⊥AC，BC⊥AC，那么OD∥BC，根據平行線分線段成比例定理的推論
可得△ODP∽△BCP，利用比例線段易得y=x②，然后把②代入①，解即可．
解答：若右圖所示，過O作OD⊥AC于D，再過O作OE⊥AB于E，

設OD=x，DP=y，
∵OD⊥AC，
∴OP=，
在Rt△ABC中，BC==6，
同理可得BP=，
∴OB=BP-OP=-，
BE=10-AE=10-（4+y）=6-y，
又∵OE²+BE²=OB²，
∴x²+（6-y）²=（-）²，
即16-4•+12y=0①，
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△ODP∽△BCP，
∴DP：CP=OD：BC，
∴y：4=x：6，
∴y=x②，
把②代入①，得
x=16，
∴x=．
故答案是．
點評：本題考查了勾股定理、切線性質、平行線的判定和性質、相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理的推論．解題的關鍵是作輔助線OD、OE，構造直角三角形．