Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)O₁（2，0）為圓心，1為半徑畫圓，交x軸于A，B兩點．過原點O作⊙O₁的切線，
切點為M．
（1）連接MA，求證△MAO₁為等邊三角形．
（2）求點M的坐標(biāo)．
（3）線段OM上是否存在一點P，使得以P，O，A為頂點的三角形與△OO₁M相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）求證等邊三角形，一般都是用含60°的等腰三角形證明，題中因為圓半徑相等易得等腰三角形，又由坐標(biāo)反應(yīng)的邊長的關(guān)系亦容易得60°內(nèi)角，所以結(jié)果易證．
（2）求坐標(biāo)即要確定其橫縱坐標(biāo)，適當(dāng)?shù)淖鞔咕�將其可視化是必要的，等腰三角形中三線合一易得很多邊長，角度關(guān)系，又其為等邊三角形，各邊邊長比例更是易確定，利用三角函數(shù)可以很容易的表達出各邊邊長，即得M點坐標(biāo)．
（3）由∠MOO₁=30°，使得P，O，A為頂點的三角形與△OO₁M相似，則A點處的內(nèi)角為90°或60°．以此建立輔助線，由特殊角30°，60°及已知邊長OA=1，則兩種情況的P點坐標(biāo)都易得．

解答：（1）證明：根據(jù)題意，如圖1所示，

∵M點為⊙O₁切點，
∴MO₁⊥OM，
在Rt△OMO₁中，
∵MO₁=1，OO₁=2，
∴∠MOO₁=30°，
∴∠MO₁O=60°，
∵MO₁=AO₁，
∴△MAO₁為等邊三角形．

（2）解：如圖2，過點M作MF⊥x軸，垂足為F．

∵⊙O₁圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），半徑為1，
∴A（1，0），B（3，0）．
在Rt△OO₁M中，
∵∠O₁OM=30°，
∴OM=OO1•cos30°=2×

3

2

=

3

，
在Rt△MOF中，
∵OF=OM•cos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴MF=OM•sin30°=

3

×

1

2

=

3

2

，
∴點M坐標(biāo)為(

3

2

，

3

2

)．

（3）解：存在．
如圖3，過點A作AP₁⊥x軸，與OM交于點P₁，此時Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O，

過點A作AP₂⊥OM，垂足為P₂，過P₂點作P₂H⊥OA，垂足為H，此時Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO．
∵∠AOP₁=30°，
∴P1A=OA•tan∠AOP1=tan30°=

3

3

，
∴P1(1，

3

3

)．
②過點A作AP₂⊥OM，垂足為P₂，過P₂點作P₂H⊥OA，垂足為H．
在Rt△OP₂A中，
∵OA=1，∠AOP₂=30°，
∴OP2=OA•cos30°=

3

2

，
在Rt△OP₂H中，
∵OH=OP2•cos∠AOP2=

3

2

×

3

2

=

3

4

，P2H=OP2•sin∠AOP2=

3

2

×

1

2

=

3

4

，
∴P2(

3

4

，

3

4

)．
∴符合條件的P點坐標(biāo)有(1，

3

3

)，(

3

4

，

3

4

)．

點評：本題考查了圓切點的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及利用三角函數(shù)解直角三角形的技巧，題目雖涉及圓、動點等問題類型，但其考查內(nèi)容及技巧都是非常基礎(chǔ)的，總體來說是一道非常值得練習(xí)的題目．