Question

5．如圖，已知拋物線y=-$\frac{5}{24}$x²+bx+c分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（-6，0）、B（0，8）．已知點(diǎn)C（4，m）在拋物線上，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，AC與y軸交于點(diǎn)E．
（1）請(qǐng)給出拋物線解析式；
（2）若令∠BAO=α，請(qǐng)求tan$\frac{α}{2}$的值；（注：要求運(yùn)用課本所學(xué)知識(shí)結(jié)合題中幾何關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)求值）．
（3）如圖2，點(diǎn)P為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），延長(zhǎng)PE與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N′為AB上點(diǎn)，且∠PMN=∠BAO，若點(diǎn)P橫坐標(biāo)記為x，AN長(zhǎng)度記為y，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出AN長(zhǎng)度取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=-$\frac{5}{24}$x²+bx+c分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（-6，0）、B（0，8），可以求得b、c的值，從而可以得到函數(shù)的解析式；
（2）由∠BAO=α，要求tan$\frac{α}{2}$的值，只要從圖中可以找到等于$\frac{α}{2}$的角即可，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，只要證明∠BAC=∠HAC即可，根據(jù)題目中的信息，可以證明這兩個(gè)角相等，從而可以求得tan$\frac{α}{2}$的值；
（3）要想求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，只要作出合適的輔助線，用題目中的數(shù)量關(guān)系可以表示出y與x之間函數(shù)關(guān)系．進(jìn)而可以確定y的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{5}{24}$x²+bx+c分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（-6，0）、B（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{25}×（-6）^{2}+（-6）×b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{12}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
即拋物線的解析式為：y=-$\frac{5}{24}$x²+$\frac{1}{12}$x+8；
（2）如圖1所示，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)C（4，m）在拋物線上，
∴$m=-\frac{5}{24}×{4}^{2}+\frac{1}{12}×4+8$，得m=5，
∴點(diǎn)C（4，5），
又∵點(diǎn)A（-6，0），點(diǎn)B（0，8），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=10$，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}=5$，
∵CH=5，AH=AO+OH=6+4=10，AC=AC，
∴AB=AH，BC=HC，
∴△ABC≌△AHC，
∴∠BAC=∠HAC，
∵∠BAO=∠BAC+∠HAC，
∴∠HAC=$\frac{1}{2}∠BAO=\frac{1}{2}α$，
∴tan$\frac{α}{2}=tan∠HAC=\frac{CH}{AH}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$；
（3）如圖2，作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，
∵∠NMO=∠PMN+∠PMO=∠BAO+∠ANM，
又∵∠PMN=∠BAO，
∴∠PMO=∠ANM，
∵CH∥EO，在圖1中，$\frac{OE}{CH}=\frac{OA}{AH}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴OE=$\frac{3}{5}CH=\frac{3}{5}×5=3$，
∵BD=8-5=3，
∴OE=OB-BD-OE=8-3-3=2，
∵點(diǎn)P橫坐標(biāo)為x，即PD=x，
∴tan∠EMO=tan∠DPE=$\frac{DE}{DP}=\frac{2}{x}$，
∴$\frac{OE}{OM}=\frac{DE}{DP}$，
即$\frac{3}{OM}=\frac{2}{x}$，得OM=$\frac{3x}{2}$，
∴AM=OA-OM=6-$\frac{3x}{2}$，
在Rt△QAM中，sin∠QAM=$\frac{OB}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
cos∠QAM=$\frac{OA}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴QM=AM•sin∠QAM=（6-$\frac{3x}{2}$）$•\frac{4}{5}$，AQ=AM•cos∠QAM=$（6-\frac{3x}{2}）•\frac{3}{5}$，
∵在Rt△QNM中，$\frac{QM}{QN}=tan∠QNM=tan∠EMO=\frac{2}{x}$，
即QN=QM$•\frac{x}{2}=（6-\frac{3x}{2}）•\frac{x}{2}$$•\frac{4}{5}$，
∴AN=AQ+QN=$（6-\frac{3x}{2}）•\frac{3}{5}+（6-\frac{3x}{x}）•\frac{4}{5}•\frac{x}{2}$，
化簡(jiǎn)，得$y=-\frac{3}{5}{x}^{2}+\frac{3x}{2}+\frac{18}{5}=-\frac{3}{5}（x-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{363}{80}$，
∴當(dāng)x=$\frac{5}{4}$時(shí)，y取得最大值$\frac{363}{80}$，
∵y＞0，
∴AN的取值范圍是：$0＜AN≤\frac{363}{80}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出題目中的數(shù)量關(guān)系，作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題，充分運(yùn)用銳角函數(shù)值表示題目中的數(shù)量關(guān)系．