Question

如圖，已知點A的坐標是（-1，0），點B的坐標是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，連接AC，BC，過A，B，C三點作拋物線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，連接BD，求直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
第三問改成，在（2）的條件下，點P是直線BC下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△PCD的面積是△BCD面積的三分之一，求此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B兩點的坐標即可得出OA、OB的長，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的長，即可得出C點的坐標．然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）本題的關(guān)鍵是得出D點的坐標，CD平分∠BCE，如果連接O′D，那么根據(jù)圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標為（4，-5）．根據(jù)B、D兩點的坐標即可用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①過D作DP∥BC，交D點右側(cè)的拋物線于P，此時∠PDB=∠CBD，可先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后根據(jù)BC與DP平行，那么直線DP的斜率與直線BC的斜率相同，因此可根據(jù)D的坐標求出DP的解析式，然后聯(lián)立直線DP的解析式和拋物線的解析式即可求出交點坐標，然后將不合題意的舍去即可得出符合條件的P點．
②同①的思路類似，先作與∠CBD相等的角：在O′B上取一點N，使BN=BM．可通過證△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一樣，先求直線DN的解析式，進而可求出其與拋物線的交點即P點的坐標．
綜上所述可求出符合條件的P點的值．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似及全等、探究角相等的構(gòu)成情況等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．