Question

（2005•臺州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，⊙C與y軸相切于D點(diǎn)，與x軸相交于A（2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，圓心C在第四象限．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）連接BC并延長交⊙C于另一點(diǎn)E，若線段BE上有一點(diǎn)P，使得AB²=BP•BE，能否推出AP⊥BE？請給出你的結(jié)論，并說明理由；
（3）在直線BE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ²=BQ•EQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，根據(jù)圓心的性質(zhì)，可得C的AB的中垂線上，易得C的橫坐標(biāo)為5；進(jìn)而可得圓的半徑為5；利用勾股定理可得其縱坐標(biāo)為-4；即可得C的坐標(biāo)；
（2）連接AE，由圓周角定理可得∠BAE=90°，進(jìn)而可得AB²=BP•BE，即，可得△ABE∽△PBA；進(jìn)而可得∠BAE=90°，即AP⊥BE；
（3）分三種情況討論，根據(jù)相似三角形性質(zhì)、切割線定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義，易得Q到xy軸的距離，即可得Q的坐標(biāo)．
解答：解：（1）C（5，-4）；（3分）

（2）能． （4分）
連接AE，
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BAE=90°，（5分）
在△ABE與△PBA中，AB²=BP•BE，即，
又∠ABE=∠PBA，
∴△ABE∽△PBA，（7分）
∴∠BPA=∠BAE=90°，即AP⊥BE；（8分）

（3）分析：假設(shè)在直線EB上存在點(diǎn)Q，使AQ²=BQ•EQ．Q點(diǎn)位置有三種情況：
①若三條線段有兩條等長，則三條均等長，于是容易知點(diǎn)C即點(diǎn)Q；
②若無兩條等長，且點(diǎn)Q在線段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知點(diǎn)Q即為AQ⊥EB之垂足；
③若無兩條等長，且當(dāng)點(diǎn)Q在線段EB外，由條件想到切割線定理，知QA切⊙C于點(diǎn)A．設(shè)Q（t，y（t）），并過點(diǎn)Q作QR⊥x軸于點(diǎn)R，由相似三角形性質(zhì)、切割線定理、勾股定理、三角函數(shù)或直線解析式等可得多種解法．
解題過程：
①當(dāng)點(diǎn)Q₁與C重合時，AQ₁=Q₁B=Q₁E，顯然有AQ₁²=BQ₁•EQ₁，
∴Q₁（5，-4）符合題意；（9分）
②當(dāng)Q₂點(diǎn)在線段EB上，∵△ABE中，∠BAE=90°
∴點(diǎn)Q₂為AQ₂在BE上的垂足，（10分）
∴AQ₂==4.8（或），
∴Q₂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2+AQ₂•cos∠BAQ₂=2+3.84=5.84，
又由AQ₂•sin∠BAQ₂=2.88，
∴點(diǎn)Q₂（5.84，-2.88），[或（，-）]；（11分）
③方法一：若符合題意的點(diǎn)Q₃在線段EB外，
則可得點(diǎn)Q₃為過點(diǎn)A的⊙C的切線與直線BE在第一象限的交點(diǎn)．
由Rt△Q₃BR∽Rt△EBA，△EBA的三邊長分別為6、8、10，
故不妨設(shè)BR=3t，RQ₃=4t，BQ₃=5t，（12分）
由Rt△ARQ₃∽Rt△EAB得，（13分）
即得t=，
（注：此處也可由tan∠Q₃AR=tan∠AEB=列得方程=；
或由AQ₃²=Q₃B•Q₃E=Q₃R²+AR²列得方程5t（10+5t）=（4t）²+（3t+6）²等等）
∴Q₃點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8+3t=，Q₃點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
即Q₃（，）；（14分）
方法二：如上所設(shè)與添輔助線，直線BE過B（8，0），C（5，-4），
∴直線BE的解析式是y=，（12分）
設(shè)Q₃（t，），過點(diǎn)Q₃作Q₃R⊥x軸于點(diǎn)R，
∵易證∠Q₃AR=∠AEB得Rt△AQ₃R∽Rt△EAB，
∴，即，（13分）
∴t=，進(jìn)而點(diǎn)Q₃的縱坐標(biāo)為，
∴Q₃（，）；（14分）
方法三：若符合題意的點(diǎn)Q₃在線段EB外，連接Q₃A并延長交y軸于F，
∴∠Q₃AB=∠Q₃EA，tan∠OAF=tan∠Q₃AB=tan∠AEB=，
在Rt△OAF中有OF=2×=，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-），
∴可得直線AF的解析式為y=x-，（12分）
又直線BE的解析式是，y=x-，（13分）
∴可得交點(diǎn)Q₃（，）．   （14分）
點(diǎn)評：本題是一道動態(tài)解析幾何題，對學(xué)生的運(yùn)動分析，數(shù)形結(jié)合的思想作了重點(diǎn)的考查，有一定的難度．