Question

如圖，已知在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD頂點A（0，0），C（10，4），直線y=ax-2a-1將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：連接AC、BD，AC與BD相交于點M，過點M作ME⊥x軸于點E，過點C作CF⊥x軸于點F，由直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，得到此直線過平行四邊形對角線的交點M，接下來求M的坐標，由平行四邊形的對角線互相平分，得到M為AC的中點，再由ME與CF都與x軸垂直，得到ME與CF平行，可得出兩對同位角相等，根據兩對對應角相等的兩三角形相似，可得三角形AME與三角形ACF相似，由M為AC的中點得到相似三角形的相似比為1：2，可得E為AF的中點，由C的坐標得到AF與CF的長，又ME為三角形ACF的中位線，根據中位線定理得到ME為CF的一半，求出ME的長，由AE為AF的一半，求出AE的長，確定出M的坐標，把M的坐標代入直線方程中，得到關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答：解：連接AC、BD，AC與BD相交于點M，過點M作ME⊥x軸于點E，過點C作CF⊥x軸于點F，

∵C（10，4），
∴AF=10，CF=4，…（2分）
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AM=CM，即=，
∵ME⊥x軸，CF⊥x軸，
∴∠MEA=∠CFA=90°，
∴ME∥CF，
∴∠AME=∠ACF，∠AEM=∠AFC，
∴△AME∽△ACF，
∴==，即E為AF的中點，
∴ME為△AFC的中位線，…（4分）
∴AE=AF=5，ME=CF=2，
∴M（5，2），…（6分）
∵直線y=ax-2a-1將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，
∴直線y=ax-2a-1經過點M，…（8分）
將M（5，2）代入y=ax-2a-1得：a=1．…（9分）
點評：此題屬于一次函數的綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，平行線的性質，三角形中位線定理，其中根據題意得出直線過平行四邊形的中心M是解本題的關鍵．