Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，若AB=4，AD=3，求OE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，
∴CE=DE=BE=BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，
∴DE為圓O的切線；

（2）解：在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，
根據(jù)勾股定理得：BD==，
∵∠DAB=∠BAC，∠ADB=∠CBA=90°，
∴△ADB∽△ABC，
∴=，即=，
解得：BC=，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AC==，
∵E為BC的中點，O為AB的中點，
∴OE為△ABC的中位線，
則OE=AC=．
分析：（1）連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到∠ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線；
（2）連接OE，由E為BC的中點，O為AB的中點，即OE為三角形ABC的中位線，可得出OE等于AC的一半，接下來求出AC，在直角三角形ABD中，由AB與AD的長，利用勾股定理求出BD的長，由一對角為公共角，一對直角相等，得到三角形ADB與三角形ABC相似，由相似得比例將AB，AD，及BD的長代入求出BC的長，在直角三角形ABC中，由AB與BC的長，利用勾股定理求出AC的長，即可得出OE的長．
點評：此題考查了切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線性質，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．