Question

如圖，等腰△ABC的頂角A的度數(shù)是36°，點D是腰AB的黃金分割點（AD＞BD），將△BCD繞著點C按照順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度后點D落在點E處，聯(lián)結(jié)AE，當(dāng)AE∥CD時，這個旋轉(zhuǎn)角是

 

度．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),黃金分割

專題：

分析：先證出點D是腰AB的黃金分割點時，CD是∠ACB的平分線，當(dāng)AE∥CD時，分兩種情況，利用圖形解出旋轉(zhuǎn)角為72°或108°．

解答：解：假設(shè)CD為∠ACB的平分線，
∵∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠ACD=∠DCB=36°，
∴BC=DC=AD，
∴△CDB∽△ABC，
∴

BC

AB

=

DB

BC

，
∴AD：AB=DB：AD，
點D是腰AB的黃金分割點，
∴CD是∠ACB的平分線，
①如圖1，

∵AE∥CD時，
∴∠EAC=∠ACD=36°，
∴EC∥AD，
∵AD=CD
∴四邊形ADCE是菱形．
∴此時這個旋轉(zhuǎn)角72°
②如圖2，

∵AE∥CD時，
∴∠EAC=∠ACD=36°，
∴B′C∥AD，
∵AD=CD
∴四邊形ADCB′是菱形．
∴∠B′CD=72°，
∴∠EB′C=72°，∠B′EC=72°，
∴此時這個旋轉(zhuǎn)角36°+36°+36°=108°，
故答案為：72或108．

點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及黃金分割，解題的關(guān)鍵是求出CD為∠ACB的平分線．