Question

（2013•下城區(qū)二模）如圖，⊙O過四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，則：
①AD=CD，②

3

BD=AB+CB，③點(diǎn)O是∠ADC平分線上的點(diǎn)，④AB²+BC²=2CD²，
上述結(jié)論中正確的編號是

①③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD=45°，再根據(jù)同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得

AD

=

CD

，然后根據(jù)同弧所對的弦相等可得AD=CD，判斷出①正確；連接AC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得點(diǎn)O在AC上，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點(diǎn)O是∠ADC平分線上的點(diǎn)，判斷出③正確；再利用勾股定理求出AB²+BC²=2CD²，判斷出④正確；點(diǎn)B的位置確定，②

3

BD=AB+CB無法求出．

解答：解：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴

AD

=

CD

，
∴AD=CD，故①正確；
連接AC，∵∠ABC=90°，
∴點(diǎn)O在AC上，AC為⊙O的直徑，
又∵AD=CD，
∴點(diǎn)O是∠ADC平分線上的點(diǎn)，故③正確；
在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=2CD²，
∴AB²+BC²=2CD²，故④正確；
∵點(diǎn)B的位置不確定，
∴

3

BD=AB+CB無法求出，故②錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理，角平分線的定義，直徑所對的圓周角是直角，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，勾股定理的應(yīng)用，綜合題，但難度不大．