Question

14．在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，AE與BF相交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，求證：AE⊥BF；
（2）如圖2，將△BCF沿BF折疊，得到△BPF，延長FP交BA的延長線于點(diǎn)Q，若AB=4，求QF的值

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°，即可證明AE⊥BF；
（2）由△BCF沿BF對折，得到△BPF可得FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，在利用角的關(guān)系求出QF=QB，設(shè)設(shè)QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程解方程求出x的值即可．

解答 （1）證明：
∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：
∵將△BCF沿BF折疊，得到△BPF，
∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
設(shè)QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，
∴QB=x，PQ=x-2，
在Rt△BPQ中，
∴x²=（x-2）²+4²，
解得：x=5，
即QF=5．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，解決的關(guān)鍵是明確三角形翻轉(zhuǎn)后邊的大小不變，找準(zhǔn)對應(yīng)邊，角的關(guān)系求解．