Question

已知：△ABC與△EDF都是腰長(zhǎng)為9的等腰直角三角形，如圖1擺放．固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE與AB重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止．在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)DE、DF（或它們的延長(zhǎng)線）分別交直線BC于G、H，如圖2．
（1）請(qǐng)寫出圖2中所有與△AGC相似的三角形：______，選擇其一說明理由；
（2）當(dāng)△AGH為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出CG的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）答：△HGA、△HAB，
證明：∵∠AGB是△AGC和△AGH的外角，
∴∠AGB=∠GAC+∠ACB，
∠AGB=∠GAH+∠H，
∵∠ACB=∠GAH=45°，
∴∠GAC=∠H，
∴△AGC∽△HGA；
故答案為：△HGA、△HAB．

（2）解：當(dāng)①CG＜BC，∠GAC=∠H＜∠HAG，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此時(shí)，△AGH不可能是等腰三角形，
②當(dāng)CG=BC時(shí)，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合，△AGH是等腰三角形，
此時(shí)，GC=，
③CG＞BC時(shí)，由（1）△AGC∽△HGA，
所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH，
若AG=AH，則AC=CG，此時(shí)x=9，
如圖（3），當(dāng)CG=BC時(shí)，
注意：DF才旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，
此時(shí)B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
所以△AGH為等腰三角形，所以CG=9，
綜上所述，當(dāng)△AGH為等腰三角形時(shí)，CG=9或9或．
分析：（1）根據(jù)△ABC與△EFD為等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和利用相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論．
（2）此題要采用分類討論的思想分三種情況①CG＜BC，②CG=BC時(shí)，③CG＞BC時(shí)分別得出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，難易程度適中，是一道很典型的題目．