Question

如圖a，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與原點(diǎn)重合，對(duì)角線BD所在直線函數(shù)式為y=

3

4

x，AD=8，矩形ABCD沿DB方向以每秒一個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)做勻速運(yùn)動(dòng)，沿矩形ABCD的邊經(jīng)B到達(dá)終點(diǎn)C，用了14秒．
（1）求矩形ABCD周長；
（2）如圖b，當(dāng)P到達(dá)B時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，
①如圖c，當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形PEOF的邊能否與矩形ABCD的邊對(duì)應(yīng)成比例？若能，求出時(shí)間t的值，若不能，說明理由；
②如圖d，當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形PEOF的面積能否等于256？若能，求出時(shí)間t的值，若不能，說明理由；

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，AD=8，B點(diǎn)在y=

3

4

x上，把x=8代入函數(shù)解析式求出y=6，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6），所以AB=6，可求得矩形的周長為28；
（2）P點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，共運(yùn)動(dòng)6秒，可得OD的長度是6，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)加上AD的長度8，縱坐標(biāo)加上AB的長度6，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，也就是點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，即6≤t≤14，分別表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，然后根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解，如果t在取值范圍內(nèi)，則能，否則不能；
②當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤6，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的面積公式列式求解求出t的值，如果t在取值范圍內(nèi)，則能，否則不能．

解答：解：（1）∵AD=8，B點(diǎn)在y=

3

4

x上，
∴y=

3

4

×8=6，
B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6），
AB=6，
∴矩形的周長=2（AD+AB）=2（8+6）=28；

（2）當(dāng)P到達(dá)B時(shí)，∵AB=6，
∴共運(yùn)動(dòng)6秒，
∴OD=6，
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是a，
則縱坐標(biāo)是

3

4

a，
∴a²+（

3

4

a）²=6²，
解得a=

24

5

，
∴

3

4

×

24

5

=

18

5

，

24

5

+8=

64

5

，

18

5

+6=

48

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（

64

5

，

48

5

）；

（3）①當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即6≤t≤14，
點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

4

5

t，

3

5

t），
14-t+

4

5

t=14-

t

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（14-

1

5

t，

3

5

t+6），
假設(shè)矩形PEOF的邊能與矩形ABCD的邊對(duì)應(yīng)成比例，
則若

PE

OE

=

BA

DA

，則

3 5 t+6

14- t 5

=

6

8

，解得t=6，
當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
若

PE

OE

=

DA

BA

，則

3 5 t+6

14- 1 5 t

=

8

6

，
解得t=

190

13

，
因?yàn)?span id="ida2hdc" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

190

13

＞14，此時(shí)點(diǎn)P不在BC邊上，舍去．
綜上，當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B，矩形PEOF與矩形BADC是相似圖形，對(duì)應(yīng)邊成比例；

②當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤6，
點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

4

5

t，

3

5

t），

3

5

t+t=

8

5

t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8+

4

5

t，

8

5

t）．
∴矩形PEOF的面積=（8+

4

5

t）（

8

5

t）=256，
整理得：t²+10t-200=0，
解得t₁=10，t₂=-20，
t₁=10，t₂=-20都不合題意，故不能．
故答案為：（1）矩形ABCD的周長為28；（2）P（

64

5

，

48

5

）；（3）①t=6；②故不能．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．