Question

如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數（k≠0）在第一象限內的圖象經過點D、E，且tan∠BOA=．
（1）求邊AB的長；
（2）求反比例函數的解析式和n的值；
（3）若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長．

Answer 1

解：（1）∵點E（4，n）在邊AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2；

（2）根據（1），可得點B的坐標為（4，2），
∵點D為OB的中點，
∴點D（2，1）
∴=1，
解得k=2，
∴反比例函數解析式為y=，
又∵點E（4，n）在反比例函數圖象上，
∴=n，
解得n=；

（3）如圖，設點F（a，2），
∵反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，
∴=2，
解得a=1，
∴CF=1，
連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2-t，
在Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²，
即t²=（2-t）²+1²，
解得t=，
∴OG=t=．
分析：（1）根據點E的縱坐標判斷出OA=4，再根據tan∠BOA=即可求出AB的長度；
（2）根據（1）求出點B的坐標，再根據點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數法求函數解析式求出反比例函數解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值；
（3）先利用反比例函數解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據折疊的性質可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度．
點評：本題綜合考查了反比例函數的知識，包括待定系數法求函數解析式，點在函數圖象上，銳角三角函數的定義，以及折疊的性質，求出點D的坐標，然后求出反比例函數解析式是解題的關鍵．