Question

【題目】如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，將沿所在直線折疊，得到．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，等于多少？

（3）若，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）的最小值為．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OD=OC，再根據(jù)對(duì)折的特點(diǎn)，得出四邊形ODEC四條邊相等，從而證菱形；

（2）根據(jù)正方形的特點(diǎn)，在Rt△ODC中，利用勾股定理可求得OC的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)O，則PE+PQ=PO+PQ，故當(dāng)PQ⊥CE時(shí)，為最小值．

（1）證明：∵四邊形是矩形，

∴與相等且互相平分，

∴，

∵關(guān)于的對(duì)稱圖形為，

∴，，

∴，

∴四邊形是菱形．

（2）∵四邊形是矩形，，

∴

∵四邊形是正方形

∴

在中，由勾股定理得：

∵

∴．

（3）解：作于，交于，如圖所示：

此時(shí)的值最小為；理由如下

∵沿所在直線折疊，得到，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中

，

即的最小值為．