Question

（2008•青島）實際問題：某學(xué)校共有18個教學(xué)班，每班的學(xué)生數(shù)都是40人．為了解學(xué)生課余時間上網(wǎng)情況，學(xué)校打算做一次抽樣調(diào)查，如果要確保全校抽取出來的學(xué)生中至少有10人在同一班級，那么全校最少需抽取多少名學(xué)生？
建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數(shù)學(xué)模型：
在不透明的口袋中裝有紅，黃，白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現(xiàn)要確保從口袋中隨機(jī)摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？
為了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：
（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸出多少個小球？
假若從袋中隨機(jī)摸出3個小球，它們的顏色可能會出現(xiàn)多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小球的個數(shù)是：1+3=4（如圖①）；
（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？
我們只需在（1）的基礎(chǔ)上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有3個小球同色，即最少需摸出小球的個數(shù)是：1+3×2=7（如圖②）
（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？
我們只需在（2）的基礎(chǔ)上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小球的個數(shù)是：1+3×3=10（如圖③）：…
（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？
我們只需在（9）的基礎(chǔ)上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸出小球的個數(shù)是：1+3×（10-1）=28（如圖⑩）

模型拓展一：在不透明的口袋中裝有紅，黃，白，藍(lán)，綠五種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸球：
（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是______；
（2）若要確保摸出的小球至少有10個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是______；
（3）若要確保摸出的小球至少有n個同色（n＜20），則最少需摸出小球的個數(shù)是______．
模型拓展二：在不透明口袋中裝有m種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸球：
（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是______．
（2）若要確保摸出的小球至少有n個同色（n＜20），則最少需摸出小球的個數(shù)是______．
問題解決：（1）請把本題中的“實際問題”轉(zhuǎn)化為一個從口袋中摸球的數(shù)學(xué)模型；
（2）根據(jù)（1）中建立的數(shù)學(xué)模型，求出全校最少需抽取多少名學(xué)生？

Answer 1

【答案】分析：首先要理解題意，此題需要兩步完成，借助于列表法求解較簡單；解題時要注意利用類比和轉(zhuǎn)化的思想結(jié)合活動中獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗與知識解決實際問題．
解答：解：模型拓展一：（1）1+5=6；（1分）

	紅	白	藍(lán)
紅	（紅，紅）	（紅，白）	（紅，藍(lán)）
黃	（黃，紅）	（黃，白）	（黃，藍(lán)）
藍(lán)	（藍(lán)，紅）	（藍(lán)，白）	（藍(lán)，藍(lán)）

（2）1+5×9=46；（2分）

（3）1+5（n-1）；（3分）

模型拓展二：（1）1+m；（4分）

（2）1+m（n-1）；（5分）

問題解決：（1）在不透明口袋中放入18種顏色的小球（小球除顏色外完全相同）各40個，現(xiàn)要確保從口袋中隨機(jī)摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？（8分）
（2）1+18×（10-1）=163個（10分）
點評：本題以范例的形式給出，并在求解的過程中暗示解決問題的思路，要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行方法的遷移運用．利用類比和轉(zhuǎn)化的思想結(jié)合活動中獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗與知識解決實際問題．