Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，△ACE為等腰直角三角形，∠AEC=90°，連接BE交AD、AC分別于F、N，CM平分∠ACB交BN于M，下列結(jié)論：①AB=AF；②AE=ME；③BE⊥DE；④，其中正確的結(jié)論的個數(shù)有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，根據(jù)圓周角定理的推論得到點A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上，再根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，
易證△AEF≌△CED，即可得到AB=AF，即①正確；由①得到∠ABF=∠AFB=45°，再利用矩形的性質(zhì)可得AE=ME，即②正確和∠FED=90°，即③正確；過N作NH⊥EC，利用
AF∥BC，AC=5，得到NC=×5=，得到NH=HC，再利用勾股定理得到EN，而S_△CMN：S_△CEN=MN：EN，即可得到④正確．
解答：解：∵∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，
∴點A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上，
∴∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，
而∠DAC=∠ACB，
∴∠AEB=∠CED，
又∵△ACE為等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，
而CD=AB，
∴AB=AF，即①正確；
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∴∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，
∵CM平分∠ACB交BN于M，
∴∠EMC=∠ECM，
∴EC=EM，
∴AE=ME，即②正確；
∵∠EDA=∠EAC=45°，
而∠EFD=∠AFB=45°，
∴∠FED=90°，即③正確；
過N作NH⊥EC，如圖，
∵AF∥BC，AC=5，
∴NC：AN=BC：AF，
∴NC=×5=，
∴NH=HC=×=，
∴EH=-=，
在Rt△ENH中，EN=，
∴MN=EM-EN=，
∵S_△CMN：S_△CEN=MN：EN=：=2：5．
即④正確．
所以①②③④都正確．
故選D．
點評：本題考查了圓周角定理以及推論：同弧所對的圓周角相等，90度的圓周角所對的弦為直徑；也考查了等腰三角形和矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．