Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，四邊形PDEF是矩形，PD=2，PF=4，DE與AB邊交于點(diǎn)G，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，伴隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，矩形PDEF在射線BC上滑動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)沿折線PD﹣DE以每秒1個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)E時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）

（1）當(dāng)t=1時(shí)，QD=　　，DG=　　；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)G時(shí)，求出t的值；

（3）t為何值時(shí)，△PQC是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）∴t=s時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)G；（3）當(dāng)0＜t≤2或t=3或t=4時(shí)，△PCQ是直角三角形．

【解析】

第一問根據(jù)相似的比例關(guān)系求解，第二問列方程形成等式，使Q到達(dá)G點(diǎn)，從而求出t，第三問根據(jù)△PCQ是直角三角形時(shí)，△QHP∽△CHQ，進(jìn)而求出t.

（1）如圖1中，設(shè)BG交PD于點(diǎn)K．

t=1時(shí)，PB=PQ=1，

∴DQ=1，

∵tan∠KBP==，

∴PK=，DK=，

∵DG∥PB，

∴=，

∴=，

∴DG=，

故答案為1，．

（2）當(dāng)t=0時(shí)，DG=PD=，

點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)G時(shí)：t﹣2=﹣t，解得t=，

∴t=s時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)G．

（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在PD上時(shí)，即0＜t≤2時(shí)，△QPC是直角三角形（∠QPC=90°）

②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段DE上時(shí)，作QH⊥PC于H．

當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，△QHP∽△CHQ，

可得QH2=PHHC，

∴22=（t﹣2）（8﹣t﹣t+2），

解得t=3或4，

∴t=3或4時(shí)，∠PQC=90°，

綜上所述，當(dāng)0＜t≤2或t=3或t=4時(shí)，△PCQ是直角三角形．