Question

給定一個(gè)正整數(shù)n，凸n邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于150°？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角

專題：

分析：設(shè)凸n邊形最多有k個(gè)內(nèi)角等于150°，則每個(gè)150°內(nèi)角的外角都等于30°，根據(jù)凸n邊形的n個(gè)外角和為360°可計(jì)算出k≤12，當(dāng)n=12時(shí)，k有最大值12，再討論當(dāng)n＞12時(shí)，當(dāng)n=3，4，5，6，7時(shí)；當(dāng)n=8，9，10，11時(shí)，k的值．

解答：解：設(shè)凸n邊形最多有k個(gè)內(nèi)角等于150°，則每個(gè)150°內(nèi)角的外角都等于30°，
而凸n邊形的n個(gè)外角和為360°，所以k≤

360

30

=12，
只有當(dāng)n=12時(shí)，
k才有最大值12．
下面我們討論n≠12時(shí)的情況：
（1）當(dāng)n＞12時(shí)，顯然，k的值是11；
（2）當(dāng)n=3，4，5，6，7時(shí)，k的值分別為1，2，3，4，5；
（3）當(dāng)n=8，9，10，11時(shí)，k的值分別為7，8，9，10．
綜上所述，當(dāng)3≤n≤7時(shí)，凸n邊形最多有n-2個(gè)內(nèi)角等于150°；
當(dāng)8≤n≤11時(shí)，凸n邊形最多有n-1個(gè)內(nèi)角等于150°；
當(dāng)n=12時(shí)，凸n邊形最多有12個(gè)內(nèi)角等于150°；
當(dāng)n＞12時(shí)，凸n邊形最多有11個(gè)內(nèi)角等于150°．

點(diǎn)評：此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識．此題難度較大，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．