Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（1，0），直線y=2x﹣1與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)C、D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點(diǎn)A到直線CD的距離；

（3）平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，點(diǎn)G在y軸正半軸上，當(dāng)以G、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的G點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣1．（2）點(diǎn)A到直線CD的距離為．（3）符合條件的點(diǎn)G有兩個(gè)，其坐標(biāo)為（0，4）或（0，9）．

【解析】

試題分析：（1）首先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線CD與x軸交于點(diǎn)E，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后解直角三角形（或利用三角形相似），求出點(diǎn)A到直線CD的距離；

（3）△GPQ為等腰直角三角形，有三種情形，需要分類討論．為方便分析與計(jì)算，首先需要求出線段PQ的長度．

方法一：

解：（1）直線y=2x﹣1，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣1，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣1）．

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

∵點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在拋物線上，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣1．

（2）如答圖2所示，直線y=2x﹣1，

當(dāng)y=0時(shí)，x=；

設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，則E（，0）．

在Rt△OCE中，OC=1，OE=，

由勾股定理得：CE=，

設(shè)∠OEC=θ，則sinθ=，cosθ=．

過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，

則AF=AEsinθ=（OA+OE）sinθ=（1+）×=，

∴點(diǎn)A到直線CD的距離為．

（3）∵平移后拋物線的頂點(diǎn)P在直線y=2x﹣1上，

∴設(shè)P（t，2t﹣1），則平移后拋物線的解析式為y=（x﹣t）2+2t﹣1．

聯(lián)立，

化簡得：x2﹣（2t+2）x+t2+2t=0，

解得：x1=t，x2=t+2，

即點(diǎn)P、點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相差2，

∴PQ===．

△GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形：

i）若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖3①所示，

則PG=PQ=．

∴CG====10，

∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，

∴G（0，9）；

ii）若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)，如答圖3②所示，

則QG=PQ=．

同理可得：G（0，9）；

iii）若點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，如答圖3③所示，

此時(shí)PQ=，

則GP=GQ=．

分別過點(diǎn)P、Q作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．

易證Rt△PMG≌Rt△GNQ，

∴GN=PM，GM=QN．

在Rt△QNG中，

由勾股定理得：GN2+QN2=GQ2，

即PM2+QN2=10 ①

∵點(diǎn)P、Q橫坐標(biāo)相差2，

∴NQ=PM+2，

代入①式得：PM2+（PM+2）2=10，

解得PM=1，

∴NQ=3．

直線y=2x﹣1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=1，

∴P（1，1），

即OM=1．

∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，

∴G（0，4）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)G有兩個(gè)，其坐標(biāo)為（0，4）或（0，9）．

方法二：

（1）略．

（2）作AF⊥CD，垂足為F，∴KCD×KAF=﹣1，

∵KCD=2，∴KAF=﹣，

∵A（﹣1，0），∴lAF：y=﹣x﹣，

∵lCD：y=2x﹣1，

∴lAF與lCD的交點(diǎn)坐標(biāo)F（，﹣），

∴AF=．

（3）∵平移后拋物線的頂點(diǎn)P在直線y=2x﹣1上，設(shè)P（t，2t﹣1），

則平移后拋物線的解析式為y=（x﹣t）2+2t﹣1，

∴拋物線與直線的交點(diǎn)P（t，2t﹣1），Q（t+2，2t+3），

以G、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形．

①點(diǎn)G可視為點(diǎn)Q繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而成，將P點(diǎn)平移至原點(diǎn)P′（0，0），

則Q′（2，4），將Q′點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則G′（﹣4，2），

將P′平移至P點(diǎn)，則G′平移后即為G（﹣4+t，2t+1），

∵GX=0，∴t=4，∴G1（0，9），

②同理可得G2（0，9），

③點(diǎn)P可視為點(diǎn)Q繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而成，設(shè)G（0，b），

將G平移至原點(diǎn)，G′（0，0），則Q′（t+2，2t+3﹣b），

將Q′繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則P′（2t+3﹣b，﹣t﹣2），

將G′平移至G點(diǎn)，則P′平移后即為P（2t+3﹣b，﹣t﹣2+b），

∴2t+3﹣b=t，﹣t﹣2+b=2t﹣1，∴t=1，b=4，

∴G3（0，4），

綜上所述，滿足題意的點(diǎn)G1（0，9），G2（0，4）．