Question

矩形ABCD在如圖所示的直角坐標系中，點A的坐標為（0，3），BC=2AB、直線l經(jīng)過點B，交AD邊于點P₁，此時直線l的函數(shù)表達式是y=2x+1．
（1）求BC、AP₁的長；
（2）沿y軸負方向平移直線l，分別交AD、BC邊于點P、E．
①當四邊形BEPP，是菱形時，求平移的距離；
②設(shè)AP=m，當直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3：5時，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵直線y=2x+1經(jīng)過y軸上的點B，
∴x=0，y=1，
∴B（0，1），
而A的坐標為（0，3），
∴AB=2，
∴BC=2AB=4，
∴P₁的縱坐標為3，
代入y=2x+1，x=1，
∴AP₁=1；

（2）①當四邊形BEPP₁是菱形時，
即，
∴，
設(shè)平移后的直線的解析式為y=2x+b，
把代入得，
∴與y軸的交點，
∴沿y軸負方向平移的距離為；
②∵AP=m，AP₁=1，
∴PP₁=BE=m-1，
而S_梯形ABEP=S_矩形ABCD或S_梯形ABEP=S_矩形ABCD，
∴或．
∴m=2或者m=3，
所以m=2或3．
分析：（1）首先根據(jù)l的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x+1可以求出B的坐標，也就求出了AB，又BC=2AB，由此求出BC，然后就可以求出P₁的縱坐標為3，代入直線解析式可以求出橫坐標，即求出了AP₁的長；
（2）①當四邊形BEPP₁是菱形時，根據(jù)勾股定理可以求出BP₁的長，也就求出了BE的長度，然后即可求出E的坐標，再利用待定系數(shù)法可以確定平移后的直線的解析式，接著求出平移后的直線的與y軸的交點坐標，比較兩個與y軸的交點坐標即可求出平移的距離；
②由AP=m，AP₁=1可以得到PP₁=BE=m-1，而直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3：5，由此可以列出關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值．
點評：此題把矩形放在坐標系的背景中，綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運用矩形與直線的關(guān)系以及直角三角形、梯形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．