Question

如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AD上，DF=CD，BF交CA于E點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作DA的垂線交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①CF²=EF•BF；②AG=2DC；③AE=EF；④AF•EC=EF•EB．其中正確的結(jié)論有（ ）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出∠DCF=∠DFC，然后求出DF=DB，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出△BCF和△CEF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得到①正確；根據(jù)互余關(guān)系求出∠G=∠ACG，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)求出AG=AC，然后求出AG=BC，然后利用“角角邊”證明△BCE和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=BC，從而判斷②正確；根據(jù)角的互余關(guān)系可以求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°再根據(jù)∠ADC的正切值為2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，從而得到AE≠EF，判斷出③錯(cuò)誤；根據(jù)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出△CEF和△BCE相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EC²=EF•EB，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CE，從而判斷出④正確．
解答：解：∵DF=CD，
∴∠DCF=∠DFC，
∵AC=BC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴DF=DB=DC，
∴∠DBF=∠DFB，
又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，
∴∠BFC=×180°=90°，
∴CF⊥BE，
∴Rt△BCF∽R(shí)t△CEF，
∴=，
∴CF²=EF•BF，故①正確；
∵AG⊥AD，
∴∠G+∠AFG=90°，
又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵AC=BC，
∴AG=BC，
又∵∠CBE=∠ACG，
∴∠CBE=∠G，
在△BCE和△AGF中，
∵，
∴△BCE≌△AGF（AAS），
∴AG=BC，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BC=2DC，
∴AG=2DC，故②正確；
根據(jù)角的互余關(guān)系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，
∵tan∠ADC=2，
∴∠ADC≠60°，
∵∠DCF=∠DFC，
∴∠FDC≠∠DFC，
∴∠EAF≠∠EFA，
∴AE≠EF，故③錯(cuò)誤；
∵∠ACB=90°，CF⊥BE，
∴△CEF∽△BCE，
∴=，
∴EC²=EF•EB，
∵△BCE≌△AGF（已證），
∴AF=EC，
∴AF•EC=EF•EB，故④正確；
所以，正確的結(jié)論有①②④．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)等角對(duì)等邊以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出AG=AC，然后證明△BCE和△AGF全等是證明的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．