Question

如圖，平行四邊形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，AD=2AB，連結(jié)AE、DE，F(xiàn)、H分別為AE、DE的中點(diǎn)．
（1）求證：CF與EH互相平分；
（2）若AB=25，DE=40，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，連接FH．利用三角形中位線定理可以判定FH∥AD，且FH=

1

2

AD；由平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)和已知條件推知：FH=CE，F(xiàn)H∥EC．則四邊形EFHC是平行四邊形，從而得證；
（2）作DP⊥EC于P，HG⊥BC于G，F(xiàn)N⊥BC于N，根據(jù)勾股定理求得CP，進(jìn)而求得PD，然后根據(jù)三角形的中位線定理求得GH、EG，從而求得FN、GC，因?yàn)镕N=HG，NE=GC，從而求得NC、FN，最后根據(jù)勾股定理即可求得；

解答：（1）證明：如圖，連接FH．
∵F、H分別為AE、DE的中點(diǎn)，
∴FH是△AED的中位線，
∴FH∥AD，且AD=2FH，
又∵平行四邊形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，
∴AD=BC=EC，AD∥EC，
∴FH∥EC，且FH=EC，
∴四邊形EFHC是平行四邊形，
∴CF與EH互相平分；

（2）解：如圖，作DP⊥EC于P，HG⊥BC于G，F(xiàn)N⊥BC于N，
∵DP⊥BC，
∴ED²-EP²=DC²-CP²，
∵ED=40，CD=EC=25，
∴40²-（25+CP）²=25²-CP²，解得：CP=7，
∴DP=

DC2-CP2

=24，EP=EC+CP=25+7=32，
∵HG⊥BC，DP⊥BC，
∴HG∥DP，
∵EH=HD，
∴EG=

1

2

EP=16，HG=

1

2

DP=12，
∵FN=HG=12，EN=CG=EC-EG=25-16=9，
∴NC=EC+EN=25+9=34，
在RT△FNC中，F(xiàn)C=

FN2+NC2

=

122+342

=10

13

，
所以CF=10

13

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，（2）作出直角三角形是關(guān)鍵．