Question

如圖，在等腰直角△ABC中AC=AB，BD⊥AH于D，CH⊥AH于H，HE、DF分別平分∠AHC和∠ADB，則下列結(jié)論中①△AHC≌△BDA；②DF⊥HE；③DF=HE；④AE=BF其中，正確的結(jié)論有（只需填寫序號）

1. A.
   ①③④
2. B.
   ①
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：①利用同角的余角相等，得∠CAH=∠ABD，再利用AAS判定△AHC≌△BDA；
②如圖，延長BD與AC相交于點M，延長FD、HE，兩延長線交于點G，證明CH∥BM，同旁內(nèi)角∠CHD與∠MDH互補，兩角的平分線互相垂直；
③利用角平分線的定義，得∠EHA=∠FDB，又∵∠EAH=∠FBD，AH=BD，得出△EHA≌△FDB，進而得出結(jié)論；
④根據(jù)△EHA≌△FDB，得AE=BF．
解答：解：①∵∠CAH+∠BAD=90°，∠ABD+∠BAD=90°
∴∠CAH=∠ABD
又∵∠CHA=∠ADB=90°，AC=AB
∴△AHC≌△BDA（AAS）；
②如圖，延長BD與AC相交于點M，延長FD、HE，兩延長線交于點G∵∠CHD+∠HDM=90°+90°=180°
∴CH∥BM
∵DF平分∠ADB
∴DG平分∠HDM
又∵HE平分∠AHC
∴∠HGD=90°
∴DF⊥HE；
③∠EHA=∠CHA
∠FDB=∠ADB
又∵∠CHA=∠ADB
∴∠EHA=∠FDB
又∵∠EAH=∠FBD，AH=BD
∴△EHA≌△FDB
∴DF=HE；
④∵△EHA≌△FDB
∴AE=BF；
故選D．
點評：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，同角的余角相等等知識．