Question

【題目】在△ABC中，∠A＝40°

（1）如圖1，若兩內(nèi)角∠ABC、∠ACB的角平分線交于點P，則∠P＝　 　，∠A與∠P之間的數(shù)量關系是　 　．為什么有這樣的關系？請證明它；

（2）如圖2，若內(nèi)角∠ABC、外角∠ACE的角平分線交于點P，則∠P＝　 　，∠A與∠P之間的數(shù)量關系是　 　；

（3）如圖3，若兩外角∠EBC、∠FCB的角平分線交于點P，則∠P＝　 　，∠A與∠P之間的數(shù)量關系是　 　．

Answer 1

【答案】（1）110°，∠P＝90°+∠A；（2）20°，∠P＝∠A；（3）70°，∠P＝90°﹣∠A，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B和∠C，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和是180°求出∠P＝180°﹣（∠B+∠C）；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及叫平分線的性質(zhì)可求出∠P，可得∠A與∠P之間的數(shù)量關系；

（3）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求得：∠EBC+∠BCF＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，在△BCP中根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．

解：（1）∠ABC+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°

∴（∠ABC+∠C）＝×140°＝70°，

∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠C）＝110°．

∠A與∠P之間的數(shù)量關系是∠P＝90°+∠A；

（2）∵∠ACE＝∠ABC+∠P，

∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠P，

∴（40°+∠ABC）＝∠ABC+∠P，

∴∠P＝20°．

∠A與∠P之間的數(shù)量關系是∠P＝∠A；

（3）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，

∴∠EBC+∠BCF＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，

∴∠PBC+∠PCB＝90°+∠A．

又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，

∴90°+∠A+∠P＝180°，即∠P＝90°﹣∠A．