Question

（1）如圖（1），把三角形紙片ABC的角A沿DE折起（DE為折痕），使頂點(diǎn)A在∠A的內(nèi)部，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)O，判斷∠O、∠ODC、∠BEO的大小關(guān)系，并寫出證明過程．
（2）如圖（2），把三角形紙片ABC的角A沿DE折起（DE為折痕），使頂點(diǎn)A在∠A的外部，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)O，判斷∠O、∠ODC、∠BEO的大小關(guān)系嗎？（只寫出答案，無需證明）．
（3）在圖（1）的基礎(chǔ)上再以FG為折痕疊紙片，形成如圖（3）的形狀．判斷∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7的之間大小關(guān)系嗎？（只寫出答案，無需證明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖1中∠A與∠O是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論2∠O=∠ODC+∠BEO；
（2）根據(jù)圖2中由于折疊∠A與∠O是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論2∠O=∠ODC-∠BEO；
（3）如圖3，由（1）的結(jié)論及折疊的性質(zhì)可知，2∠4=∠2+∠6，2∠6=∠5+∠7，2∠2=∠1+∠3，再將這三個(gè)式子相加即可得出∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6或∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．

解答：解：（1）2∠O=∠ODC+∠BEO．理由如下：
如圖1，∵把三角形紙片ABC的角A沿DE折起，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)O，
∴∠A=∠O，∠ADE=∠ODE，∠AED=∠OED．
∵∠O+∠ODE+∠OED=180°，
∠ODC+∠ODE+∠EDA=180°，
∠BEO+∠DEO+∠AED=180°，
∴2∠O=360°-2∠0DE-2∠OED，
∠ODC=180°-2∠ODE，
∠BEO=180°-2∠OED，
∴2∠O=∠ODC+∠BEO；

（2）2∠O=∠ODC-∠BEO．理由如下：
如圖2，設(shè)DO交AB于點(diǎn)F，
∵∠ODC=∠A+∠DFA，∠DFA=∠O+∠BEO，
∴∠ODC=∠A+∠O+∠BEO，
∴∠ODC-∠BEO=∠A+∠O，
∵△ODE是由△ADE沿直線DE折疊而得，
∴∠A=∠O，
∴2∠O=∠ODC-∠BEO；

（3）∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6或∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．理由如下：
如圖3，由（1）的結(jié)論及折疊的性質(zhì)可知，2∠4=∠2+∠6，2∠6=∠5+∠7，2∠2=∠1+∠3，
∴∠1+∠3+∠5+∠7+∠2+∠6=2∠2+2∠6+2∠4，
∴∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6，
∵2∠4=∠2+∠6，
∴∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．

點(diǎn)評：此題主要考查的是四邊形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)和圖形的翻折變換，理清圖中角與角的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．