同學(xué)們學(xué)過(guò)有理數(shù)減法可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法來(lái)運(yùn)算，有理數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法來(lái)運(yùn)算．其實(shí)這種轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)會(huì)經(jīng)常用到，通過(guò)轉(zhuǎn)化我們可以把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)解決．
例如：計(jì)算
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5

此題我們按照常規(guī)的運(yùn)算方法計(jì)算比較復(fù)雜，但如果采用下面的方法把乘法轉(zhuǎn)化為減法后計(jì)算就變得非常簡(jiǎn)單．
分析方法：因?yàn)?span id="jy3dw8f" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，
所以，將以上4個(gè)等式兩邊分別相加即可得到結(jié)果，解法如下：
解：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+(
1
4
-
1
5
)=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
=1-
1
5
=
4
5

（1）應(yīng)用上面的方法計(jì)算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
；
（2）計(jì)算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
（只填答案）．
（3）類(lèi)比應(yīng)用上面的方法探究并計(jì)算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2010×2012
．
分析：（1）利用題中的方法得到
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
2011
-
1
2012
），然后去括號(hào)合并即可；
（2）與（1）一樣得到
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
，然后進(jìn)行合并；
（3）把
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2010×2012
變形為（2）中的形式得到
1
4
[（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
1005
-
1
1006
）]，然后利用（2）中的方法計(jì)算．
解答：解：（1）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
2011
-
1
2012
）=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2011
-
1
2012
=1-
1
2012
=
2011
2012
；

（2）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
；

（3）
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2010×2012
=
1
4
[（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
1005
-
1
1006
）]=
1
4
×（1-
1
1006
）=
1005
4024
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算：先算乘方，再算乘除，然后進(jìn)行加減運(yùn)算；有括號(hào)先算括號(hào)．也考查了閱讀理解能力．
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