Question

19．如圖1，將矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，且A（3，0），C（0，3$\sqrt{3}$）．拋物線y=ax²+bx過(guò)點(diǎn)B，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D（6，0）．
（1）求a，b的值．
（2）若點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，當(dāng)△PAC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)B出發(fā)，以某一速度勻速運(yùn)動(dòng)到某一位置Q處，然后以原來(lái)速度的2倍，沿線段QO運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處．試確定點(diǎn)Q的位置，使得按照上述要求到達(dá)原點(diǎn)所用的時(shí)間最短．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于AC且與拋物線相切的直線到AC的距離最大，可得P是平行線與拋物線的唯一交點(diǎn)，根據(jù)解方程組，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；也可以利用面積差表示△PAC的面積，得出函數(shù)關(guān)系式，求最值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接BD，過(guò)O作OM⊥BD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)Q，接下來(lái)證明∠QBM=30°，從而可得到從點(diǎn)Q到A與點(diǎn)Q到點(diǎn)O所用時(shí)間相同，從而可確定出Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，且A（3，0），C（0，3$\sqrt{3}$），得：
B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3$\sqrt{3}$）．
將B、D點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=3\sqrt{3}}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作平行于AC的直線，此直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△PAC的面積最大，
∵A（3，0），C（0，3$\sqrt{3}$），
∴直線AC的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線解析式為y=-$\sqrt{3}$x+b，聯(lián)立直線于拋物線解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+b}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+2\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
整理，得$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-3$\sqrt{3}$x+b=0，
△=81-4$\sqrt{3}$b=0，
解得b=$\frac{27}{4}\sqrt{3}$；
$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-3$\sqrt{3}$x+$\frac{27}{4}\sqrt{3}$=0，
解得x₁=x₂=$\frac{9}{2}$，y=-$\sqrt{3}$×$\frac{9}{2}$+$\frac{27}{4}\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{9}{2}$，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）；
（3）如圖2，連接BD，過(guò)O作OM⊥BD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)Q，
∵AD=3，AB=3$\sqrt{3}$，
∴∠QBM=30°，
又∵QM⊥BD，
∴∠QOA=30°
∴AQ=$\frac{1}{2}$OQ，
∴設(shè)動(dòng)點(diǎn)在BQ上的速度為1，則在OQ上的速度為2，
∴動(dòng)點(diǎn)在OQ上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間等于動(dòng)點(diǎn)以原速度在AQ上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，
即從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到Q，再運(yùn)動(dòng)到O，相當(dāng)于以原速度從B運(yùn)動(dòng)到A的時(shí)間，
∴當(dāng)OM⊥BD時(shí)，交AB于Q，這時(shí)的點(diǎn)Q就是所求的點(diǎn)，
tan30°=$\frac{AQ}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AQ}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AQ=$\sqrt{3}$，
∴Q（3，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，這是�？碱}型，要熟練掌握；還考查了利用最值求點(diǎn)的坐標(biāo)，把這一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用方程組求交點(diǎn)的問(wèn)題，也可以利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（最值）來(lái)求點(diǎn)的坐標(biāo)；本題把函數(shù)和幾何有機(jī)的結(jié)合在一起，看似簡(jiǎn)單，其實(shí)比較復(fù)雜，要認(rèn)真理解題意，要把時(shí)間的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的最小值來(lái)解決問(wèn)題．