Question

20．如圖，已知拋物線經過點A（-2，0），點B（-3，3）及原點O，頂點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的BC段上，是否存在一點G，使得△GBC的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點G的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）P是拋物線的第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線過A（-2，0）及原點可設y=a（x+2）（x-0），然后根據(jù)拋物線y=a（x+2）（x-0）過B（-3，3），求出a的值即可；
（2）存在一點G，使得△GBC的面積最大，過G作GH垂直y軸交BC于點H，設G（x₁，x²+2x），設過直線BC的解析式為y=kx+b，可求出直線的解析式，進而可表示出點H的坐標，再由三角形的面積公式可得到△GBC的面積和x的函數(shù)關系，由函數(shù)的性質即可求出其面積最大值以及點G的坐標；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)B橫坐標為-3，代入拋物線解析式求出縱坐標，確定出B坐標，進而求出BC，BO，OC的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC為直角三角形，若P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似，設P（m，n），由題意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，根據(jù)相似得比例，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而求出n的值，即可確定出P的坐標；
（4）分三種情況考慮，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四邊形的性質及坐標與圖形性質求出D坐標即可．

解答 解：（1）根據(jù)拋物線過A（-2，0）及原點，可設y=a（x+2）（x-0），
又∵拋物線y=a（x+2）x過B（-3，3），
∴-3（-3+2）a=3，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+2）x=x²+2x；
（2）存在一點G，使得△GBC的面積最大，理由如下：

理由：過G作GH垂直y軸交BC于點H，設G（x₁，x²+2x），設過直線BC的解析式為y=kx+b，
∵y=（x-2）x=x²-2x=（x+1）²-1，
∴頂點C（-1，-1），
又∵B（-3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-1}\\{-3k+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴y=-2x-3，
∴可設點H（x，-2x-3）
∴S_△GBC=$\frac{1}{2}$（-2x-3-x²-2x）•（-1+3）=-x2-4x-3=-（x+2）²+1
∵a=-1＜0，對稱軸為x=-2，
∴當x=-2時，S_△GBC=1最大，此時，G（-2，0）；
（3）存在，
∵點B在拋物線上，
∴當x=-3時，y=9-6=3，
∴B（-3，3），
根據(jù)勾股定理得：BO²=9+9=18；CO²=1+1=2；BC²=16+4=20，
∴BO²+CO²=18+2=20，
∴BO²+CO²=BC²，
∴△BOC為直角三角形，
假設存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似，如圖2，
設P（m，n），由題意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，
①若△AMP∽△BOC，則$\frac{AM}{BO}=\frac{PM}{CO}$，即$\frac{m+2}{\sqrt{18}}=\frac{{m}^{2}+2m}{\sqrt{2}}$，
整理得：m+2=3（m²+2m）=0，即3m²+5m-2=0，
解得：m₁=$\frac{1}{3}$，m₂=-2（舍去），
m₁=$\frac{1}{3}$時，n=$\frac{1}{9}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{9}$，
∴P（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；                                         
②若△AMP∽△COB，則$\frac{AM}{CO}=\frac{PM}{BO}$，即$\frac{m+2}{\sqrt{2}}=\frac{{m}^{2}+2}{\sqrt{18}}$，
整理得：m²-m-6=0，
解得  m₁=3，m₂=-2（舍去），
當m=3時，n=9+6=15，
∴P（3，15），
綜上所述，符合條件的點P有兩個，分別是P₁（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$），P₂（3，15）；
（4）如圖3所示，分三種情況考慮：
當D₁在第一象限時，若四邊形AOD₁E₁為平行四邊形，
∴AO=E₁D₁=2，
∵拋物線對稱軸為直線x=-1，
∴D₁橫坐標為1，
將x=1代入拋物線y=x²+2x=1+2=3，即D₁（1，3）；
當D₂在第二象限時，同理D₂（-3，3）；
當D₃在第三象限時，若四邊形AE₂OD₃為平行四邊形，此時D₃與C重合，即D₃（-1，-1）．

點評 本題綜合考查了二次函數(shù)的綜合，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質和判定，勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定等知識點的應用，此題綜合性比較強，有一定的難度，對學生提出較高的要求．注意：不要漏解，分類討論思想的巧妙運用．