Question

如圖，一條拋物線y=

1

4

x2+m（m＜0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．若點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（0，-2）、（4，0），拋物線與直線MN始終有交點(diǎn)，線段AB的長度的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)待定系數(shù)法可求直線MN的解析式，把y=

1

2

x-2，代入拋物線y=

1

4

x2+m（m＜0），可得

1

2

x-2=

1

4

x²+m，根據(jù)根的判別式可得關(guān)于m的方程，求得拋物線的解析式，再令y=0，得到

1

4

x²-

7

4

=0，解方程得到A、B的坐標(biāo)，從而得到線段AB的長度的最小值．

解答：解：設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，則

b=-2 4k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=-2

．
故直線MN的解析式為y=

1

2

x-2，
把y=

1

2

x-2，代入拋物線y=

1

4

x2+m（m＜0），可得

1

2

x-2=

1

4

x²+m，即

1

4

x²-

1

2

x+（m+2）=0，
△=（-

1

2

）²-4×

1

4

×（m+2）=0，
解得m=-

7

4

，
則拋物線y=

1

4

x2+m（m＜0）為y=

1

4

x²-

7

4

，
當(dāng)

1

4

x²-

7

4

=0時(shí)，解得x₁=-

7

，x₂=

7

故A、B的坐標(biāo)分別為（-

7

，0）、（

7

，0），
則線段AB的長度的最小值為2

7

．
故答案為：2

7

．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法可求直線MN的解析式，根的判別式，方程思想，求拋物線的解析式，坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間的距離公式．綜合性較強(qiáng)，難度中等．