Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運(yùn)動．在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)．點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也隨之停止．

設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間是t秒(t＞0)．

        

（1）設(shè)PQ的長為y，在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫t的取值范圍）．

（2）當(dāng)BP = 1時，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積．

（3）隨著時間t的變化，線段AD會有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個時刻會達(dá)到最大值，請回答：該最大值能否持續(xù)一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．    

 

Answer 1

【答案】

（1）    

（2）當(dāng)BP = 1時，有兩種情形：

         ①如圖，若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動，有 MB = = 4，MP = MQ = 3，    

 

           ∴PQ = 6．連接EM，

           ∵△EPQ是等邊三角形，∴EM⊥PQ．∴．

           ∵AB = ，∴點(diǎn)E在AD上．

           ∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ，其面積為． ）

②若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動，由題意得 ．

PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F，QE與AD或AD的延長線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，

則HP = ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，

∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，

∴點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，如圖．此時△EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為．

（3）能．      

【解析】（1）根據(jù)路程公式直接寫出PQ的長度y；

（2）當(dāng)BP=1時，有兩種情況：①點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動，通過計(jì)算可知，MP=MQ=3，即PQ=6，連接EM，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求EM=3，此時EM=AB，重疊部分為△PEQ的面積；②點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動，此時t=5，MP=3，MQ=5，△PEQ的邊長為8，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，在Rt△PHF中，已知PH，∠HPF=30°，可求FH、PF、FE，證明等邊△EFG中，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，此時重疊部分面積為梯形FPCG的面積；根據(jù)梯形面積公式求解；

（3）由圖可知，當(dāng)t=4時，P、B重合，Q、C重合，線段AD被覆蓋長度達(dá)到最大值，由（2）可知，當(dāng)t=5時，線段EQ經(jīng)過D點(diǎn)，長度也是最大值，故t的范圍在4與5之間．