Question

數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．∠ADE=60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分線CE于點(diǎn)E，求證：AD=DE．
經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接MD，則△BMD是等邊三角形，易證△AMD≌△DCE，所以AD=DE．
在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：
（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)D是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AD=DE”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；
（2）小亮提出：如圖3，點(diǎn)D是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AD=DE”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)______（填“正確”或“不正確”）．

Answer 1

（1）小穎的觀點(diǎn)正確．
證明：如圖，在AB上取一點(diǎn)M，使BM=BD，連接MD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等邊三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分線，
∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B
∴∠1=∠2．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，
，
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．

（2）正確．
證明：延長BA到M，使AM=CD，
與（1）相同，可證△BDM是等邊三角形，
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，
∠MAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，
∴∠CDE=∠MAD，
同理可證，△AMD≌△DCE，
∴AD=DE．
故答案是：正確．
分析：（1）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=BD，連接MD．則△BDM是等邊三角形，則易證AM=DC，根據(jù)ASA即可證得△AMD≌△DCE（ASA），根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得；
（2）延長BA到M，使AM=CD，與（1）相同，可證△BDM是等邊三角形，然后證明△AMD≌△DCE（ASA），根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得．
點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等的三角形是關(guān)鍵．