Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x＝且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）求拋物線解析式．

（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PAC的面積有最大值是4，此時(shí)，P（-2，3）；（3）存在，

【解析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到答案；

(2)設(shè)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q，根(3)根據(jù)三角形的面積公式，得到二次函數(shù)解析式，即可得到答案；

設(shè)，則，若以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則或,分別求出t的值，即可得到答案.

（1）∵直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，

∴A（-4，0），C（0，2）

∵拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x＝且過(guò)A（-4，0），C（0，2），

∴ ，解得：

∴拋物線解析式為：；

（2）設(shè)P，

過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，如圖，

∴點(diǎn)Q，

∴PQ==，

∵=，

∴當(dāng)m=-2時(shí)，PAC的面積有最大值是4，此時(shí)，P（-2，3）；

（3）∵，

∴A（-4，0），C（0，2）B（1，0），

∴AB=5，AC=2，BC=，

∵，

∴AC⊥BC，

∵MN ⊥x軸，

∴若以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則或,

設(shè)，則，

①，

∴，解得：

②，

∴，解得：

綜上所述：存在使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.