Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B （3，0）兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)C（0，-3）
（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若M是線段BD的中點(diǎn)，連接CM，猜想線段CM與線段BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
答：拋物線的解析式是y=x²-2x-3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，-4）．

（2）線段CM與線段BD之間的數(shù)量關(guān)系是CM=BD．
證明：過M作MQ⊥x軸于Q，過D作DH⊥x軸于H，
∵D（1，-4），B（3，0），M為BD的中點(diǎn)，
∴MQ=2，HQ=1，
∴OQ=1+1=2，
∴M（2，-2），
由勾股定理得：BD==2，
過M作MN⊥y軸于N，
則MN=PQ=2，CN=OC-MQ=3-2，
由勾股定理得：CM==，
∵CM=，BD=2（已求出），
∴CM=BD．

（3）坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，0），（0，），（9，0）．
分析：（1）設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x+1）（x-3），把C的坐標(biāo)代入求出即可；
（2）過M作MQ⊥X軸于Q，過D作DH⊥X軸于H，根據(jù)三角形的中位線求出M的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出CM、BD即可；
（3）①當(dāng)∠PAC=90°，②當(dāng)∴APC=90°時(shí)，③當(dāng)∠ACP=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入求出即可．
點(diǎn)評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，勾股定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．