Question

已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的頂點P在AB上滑動，

   直角的兩邊分別交線段AC，BC于E．F兩點

（1）如圖1，當=且PE⊥AC時，求證：=；

（2）如圖2，當=1時（1）的結(jié)論是否仍然成立？為什么？

（3）在（2）的條件下，將直角∠EPF繞點P旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠BPF=α（0°＜α＜90°）．連

   結(jié)EF，當△CEF的周長等于2+時，請直接寫出α的度數(shù)．

 

Answer 1

解：（1）如圖1，

∵PE⊥AC，

∴∠AEP=∠PEC=90°．

又∵∠EPF=∠ACB=90°，

∴四邊形PECF為矩形，

∴∠PFC=90°，

∴∠PFB=90°，

∴∠AEP=∠PFB．

∵AC=BC，∠C=90°，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，

∴PF=BF，=，

∴==；           （3分）

（2）（1）的結(jié)論不成立，理由如下：

連接PC，如圖2．

∵=1，

∴點P是AB的中點．

又∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴CP=AP=AB．∠ACP=∠BCP=∠ACB=45°，CP⊥AB，

∴∠APE+∠CPE=90°．

∵∠CPF+∠CPE=90°，

∴∠APE=∠CPF．

在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF，

∴AE=CF，PE=PF．

故（1）中的結(jié)論=不成立；    （6分）

（3）當△CEF的周長等于2+時，α的度數(shù)為75°或15°．

提示：在（2）的條件下，可得AE=CF（已證），

∴EC+CF=EC+AE=AC=2．

∵EC+CF+EF=2+，

∴EF=．

設(shè)CF=x，則有CE=2﹣x，

在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理可得x²+（2﹣x）²=（）²，

整理得：3x²﹣6x+2=0，

解得：x₁=，x₂=．

①若CF=，如圖3，

 

過點P作PH⊥BC于H，

易得PH=HB=CH=1，F(xiàn)H=1﹣=，

在Rt△PHF中，tan∠FPH==，

∴∠FPH=30°，

∴α=∠FPB=30+45°=75°；                    （9分）

②若CF=，如圖4，

過點P作PG⊥AC于G，

同理可得：∠APE=75°，

∴α=∠FPB=180°﹣∠APE﹣∠EPF=15°．