Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF=BF，求證：△CEF是等邊三角形．

Answer 1

分析 在△ABC中，AF平分∠CAB、AF=BF求得∠B=∠2=∠1=60°，根據(jù)外角性質(zhì)可得∠4=60°，在RT△ADE中可得∠3=∠5=60°，進(jìn)而可知∠4=∠5=60°，得證．

解答 證明：如圖，

∵AF是∠BAC的平分線，
∴∠CAB=2∠1=2∠2，
∵AF=BF，
∴∠2=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，即∠B+2∠1=∠B+2∠2=90°，
∴∠B=∠1=∠2=30°，
∵∠4是△ABF的外角，
∴∠4=∠2+∠B=60°，
∵CD是AB邊上的高，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=60°，
∵∠5=∠3，
∴∠4=∠5=60°，
∴△CEF是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，利用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更簡(jiǎn)單明了．