Question

如圖①，A（4，0），C（0，n）分別是x和y軸上的點(diǎn)，n＞0，以O(shè)A，OC為邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，對(duì)角線OB，AC，交于點(diǎn)D雙曲線y=（x＞0，k＞0）交邊BC于G，交邊AB于H．
（1）設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=qx+p，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示q和p．
（2）求證：=；
（3）如圖②，若上述雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，判斷點(diǎn)D是否是雙曲線與直線AC唯一的交點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)y=qx+p
由A（4，0）得0=4q+p，
由C（0，n）得n=p，
∴q=-，p=n；
（2）∵點(diǎn)G和點(diǎn)H均在y=上，
∴設(shè)H（4，），G（，n）
所以BG=4-=，BH=n-=，
∴，
即=；

（3）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，），
當(dāng)x=2，y=時(shí)，，k=n，
∴y=，
由
得-
即-nx²+4nx=4n，
-x²+4x=4，
解得：x₁=x₂=2，
∴點(diǎn)D是雙曲線與直線AC唯一的交點(diǎn)．
分析：（1）設(shè)y=qx+p，將點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)C（0，n）代入即可用含n的代數(shù)式表示q和p；
（2）根據(jù)點(diǎn)G和點(diǎn)H均在y=上，設(shè)H（4，），G（，n）從而得到BG=4-=，BH=n-=，利用，即可證得=；
（3）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，），然后得到y(tǒng)=，聯(lián)立組成方程組即可得整理得到方程-x²+4x=4，根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根判斷點(diǎn)D是雙曲線與直線AC唯一的交點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用未知數(shù)將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，難度中等偏上．