Question

已知：如圖，A是⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC=BC，AC=

1

2

OB
（1）判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若半徑OC為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）利用題中的邊的關(guān)系可求出△OAC是正三角形，然后利用角邊關(guān)系又可求出∠CAB=30°，從而求出∠OAB=90°，所以判斷出直線AB與⊙O相切；
（2）扇形OAC的面積與等邊△OAC的面積的差就是陰影部分的面積．

解答：解：（1）解：（1）直線AB是⊙O的切線，理由如下：
連接OA．
∵OC=BC，AC=

1

2

OB，
∴OC=BC=AC=OA，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠O=∠OCA=60°，
又∵∠B=∠CAB，
∴∠B=30°，
∴∠OAB=90°．
∴AB是⊙O的切線．

（2）∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△OAC是等邊三角形．
則S_扇形OAC=

60π×22

360

=

2

3

π，
S_△OAC=

3 ×22

4

=

3

，
則S陰影=S_扇形OAC-S_△OAC=

2

3

π-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．