Question

如圖，將一副直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．
（1）若∠DCE=35°，∠ACB=

145°

；若∠ACB=140°，則∠DCE=

40°

；
（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；
（3）若保持三角尺BCE（其中∠B=45°）不動，三角尺ACD的CD邊與CB邊重合，然后將三角尺ACD（其中∠D=30°）繞點C按逆時針方向任意轉(zhuǎn)動一個角度∠BCD．
設(shè)∠BCD=α（0°＜α＜90°）
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能說明理由．
②當(dāng)這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直時直接寫出α的所有可能值．

Answer 1

分析：（1）由于是兩直角三角形板重疊，重疊的部分就比90°+90°減少的部分，所以若∠DCE=35°，則∠ACB的度數(shù)為180°-35°=145°，∠ACB=140°，則∠DCE的度數(shù)為180°-140°=40°
（2）由于∠ACD=∠ECB=90°，重疊的度數(shù)就是∠ECD的度數(shù)，所以∠ACB+∠DCE=180°．
（3）①當(dāng)∠ACB是∠DCE的4倍，設(shè)∠ACB=4x，∠DCE=x，利用∠ACB與∠DCE互補(bǔ)得出即可；
②分別利用CE⊥AD，BE⊥CD，BE⊥AD分別求出即可．

解答：解：（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，∠DCE=35°，
∴∠ACB=180°-35°=145°．
∵∠ACD=∠ECB=90°，∠ACB=140°，
∴∠DCE=180°-140°=40°．
故答案為：145°，40°；

（2）∠ACB+∠DCE=180°或互補(bǔ)，
理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE=180°，即∠ACB與∠DCE互補(bǔ)．

（3）①當(dāng)∠ACB是∠DCE的4倍，
∴設(shè)∠ACB=4x，∠DCE=x，
∵∠ACB+∠DCE=180°，
∴4x+x=180°
解得：x=36°，
∴α=90°-36°=54°；

②CE⊥AD時，α=30°，
BE⊥CD時，α=45°，
BE⊥AD時，α=75°．

點評：此題主要考查了互補(bǔ)、互余的定義等知識，解決本題的關(guān)鍵是理解重疊的部分實質(zhì)是兩個角的重疊．