Question

【題目】已知：Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示,P(3,4)為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分。

問：點C在什么位置時,分割得到的三角形與Rt△OAB相似(注：在圖上畫出所有符合要求的線段PC,并求出相應的點C的坐標).

Answer 1

【答案】（3，0）或（6，4）或（6，）

【解析】

按照公共銳角進行分類，可以分為兩種情況：當∠BOA為公共銳角時，只存在∠PCO為直角的情況；當∠B為公共銳角時，存在∠PCB和∠BPC為直角兩種情況．如圖，（3，0）或（6，4）或（6，）

解：過P作PC1⊥OA，垂足是C1，

則△OC1P∽△OAB．

點C1坐標是（3，0）．

過P作PC2⊥AB，垂足是C2，

則△PC2B∽△OAB．

點C2坐標是（6，4）．

過P作PC3⊥OB，垂足是P（如圖），

則△C3PB∽△OAB，

∴．

易知OB＝10，BP＝5，BA＝8，

∴BC3＝，AC3＝8﹣＝．

∴C3（6，）．

符合要求的點C有三個，其連線段分別是PC1，PC2，PC3（如圖）．

故答案是：（3，0）或（6，4）或（6，）．