Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）用直尺和圓規(guī)作圖：
①作∠A的平分線交BC于D；
②作⊙O，使得圓心O在AB上且圓經(jīng)過點A、D．
（2）判定⊙O與BC的位置關(guān)系，并證明你結(jié)論；
（3）若所作的圓與AB交于點E，AC=3，AE=4，求AD的值．

Answer 1

分析 （1）作出∠BAC的角平分線即可得到點D，再作出AD的垂直平分線與AB交于點O，以O(shè)A長為半徑就可以作出符合要求的圓；
（2）利用角平分線性質(zhì)證得OD∥AC就可以證出BC與⊙O相切；
（3）連接DE，證明△AED∽△ADC，利用邊對應(yīng)成比例可以求出AD的長．

解答 解：（1）如圖所示：

作∠BAC角平分線AD，與BC交于點D，則點D為所求；
作AD垂直平分線，與AB交于點O，以O(shè)A長為半徑畫圓，則⊙O為所求．
（2）⊙O與BC相切
連接OD，如圖2所示：

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴⊙O與BC相切
（3）連接DE，如圖3所示：

∵AE為直徑，
∴∠ADE=90°，
∵∠EAD=∠DAC，∠C=90°，
∴△AED∽△ADC
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}$，
∵AC=3，AE=4，
∴AD²=3×4=12，則AD=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了角平分線及垂直平分線的作法，還考查了切線性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)．根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．