Question

如圖，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，點E是BC的中點．
求證：
（1）DE∥AB；
（2）DE=

1

2

（AB-AC）．

Answer 1

分析：延長CD交AB于點F，然后利用“角邊角”證明△ADC和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CD=DF，AC=AF，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半即可證明．

解答：證明：如圖，延長CD交AB于點F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
在△ADC和△ADF中，

∠CAD=∠FAD AD=AD ∠ADC=∠ADF=90°

，
∴△ADC≌△ADF（ASA），
∴CD=DF，AC=AF，
∵點E是BC的中點，
∴DE是△BCF的中位線，
∴（1）DE∥AB；
（2）DE=

1

2

BF，
∵BF=AB-AF=AB-AC，
∴DE=

1

2

（AB-AC）．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線并證明DE是三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．